RETOMBEE D'UN ETAGE DE LANCEUR

On considère un lanceur, par exemple Ariane 44LP, à l'issue de la combustion du premier étage , se séparant de son premier moteur qui retombe donc sur terre.

Nous supposons que le vol du lanceur est situé dans le plan équatorial, avec un azimut de 90°, c'est à dire un tir plein Est pour profiter au maximum de la vitesse d'entraînement due à la rotation terrestre.

On donne au moment de la séparation du premier étage :

t = 210 s après le décollage ( à titre indicatif )

Vr = 2700 m/s vitesse relative par rapport à la Terre

gr = 14° pente de la vitesse relative sur l'horizontale locale.

Zo = 60 km altitude au moment de la séparation.

On rappelle les constantes suivantes :

m_T = 39.86 10⁴ km³s^-2

R_T = 6378 km

T = 86164 s période sidérale de la Terre.

QUESTIONS

1°) Calculer la vitesse absolue Vo du premier étage par rapport à des axes galiléens, non liés à la rotation terrestre. Calculer de même la pente absolue go de la vitesse sur l'horizontale locale.

2°) Déduire les éléments caractéristiques de la trajectoire képlérienne de retour vers le sol

a : demi grand-axe

e : excentricité

T : période

Za : altitude sol de l'apogée de la trajectoire de l'étage.

3°) Calculer la durée de la phase de retombée en supposant la Terre dépourvue d'atmosphère.

4°) Calculer alors la portée angulaire a indiquée sur la figure. Donner la distance sol parcourue en projection sur le sol en tenant compte naturellement du rattrapage provoqué par la rotation terrestre.

SOLUTION

1°) Calcul des conditions absolues de tir.

Dans le plan équatorial terrestre nous avons la composition des vitesses suivant le schéma suivant .

Avec V_et = w_T (R_T + Zo) = 469.5 m/s = 0.4695 km/s

Dans le triangle hachuré nous avons les relations:

donnant

Vo= 3157.6 m/s

go = 11°.9386

2°) Calcul des éléments caractéristiques de la trajectoire

Nous calculons les deux constantes caractéristiques E (énergie spécifique) et K (constante des aires) de la trajectoire képlérienne.

Le demi grand-axe est a = 3500.9 km

L'excentricité vaut alors:

L'apogée de la trajectoire est Ra = a (1 + e) = 6464.34 soit une altitude Za = 86.34 km

La période T vaut:

e = 0.8465

Za = 86 km

T = 2060 s

3°) Calcul du temps de vol avant percussion du sol

Pour obtenir ce temps de vol il suffit de calculer les deux temps fictifs pour aller du périgée en A ou en B. Le temps cherché est t = T -t(P->A) - t(P->B).

T(P->A)= T( j_A - e sinj_A)/2p où j_A vérifie RT = a (1 - e cosj_A)

T(P->B)= T( j_B - e sinj_B)/2p où j_B vérifie RT = a (1 - e cosj_B)

Les calculs donnent sans difficulté:

j_A = 172°.435 = 3.00956 rd et j_B = 166°.135 = 2.899608 rd

t(P->A) = 950.4 s et t(P->B) = 884.4 s

Temps de vol: 225 secondes soit 3 mn 45 s

3°) Calcul de la portée angulaire :

Les calculs précédents sont utiles pour évaluer les angles polaires q_A et q_B

qui donnent :q_A = 177°.815 et q_B = 175°.984

La portée angulaire est a = 360 - 177.915 - 175°.984 = 6°. 2

a = 0.108227 rd, or pendant 225 secondes la terre a tourné de 0.016407 rd, et finalement la portée angulaire réelle est de 0.09182 rd, correspondant à une portée au sol de

distance : 585.6 km au sol

Un document du CNES qui relate les diverses séparations confirme les valeurs calculées.

Guiziou novembre 1999 et 2005, sept 2011